夲文是對已發(fā)“素?cái)?shù)函數(shù)的一般表達(dá)式”一文的補(bǔ)充。通過再次利用替換函數(shù)的方法,對下圖末項(xiàng)積分進(jìn)行積分,而得到更精確的解析式。

對末項(xiàng)積分進(jìn)行積分后,可以得到下式;

上式末項(xiàng)積分曲線已很平滑,在0~X區(qū)城內(nèi),原函數(shù)的X按積分中值定理可取0.45~0.5,為方便計(jì)算取0.5X。
可得下式:

下面是計(jì)算結(jié)果:由于歐拉素?cái)?shù)公式的左右項(xiàng)收斂速率有差異,故進(jìn)行修正計(jì)算。



由于再次積分后公式中的末項(xiàng)積分已很小,直接采用積分中值定理在0~x區(qū)域內(nèi)x取值為0.45~0.5??傻萌缦鹿剑?/p>
按此公式對超巨自然數(shù)(如六千多億的自然數(shù))計(jì)算素?cái)?shù)個數(shù)可得到億分之一的偏差精確度。同時兼顧較小自然數(shù)的計(jì)算。
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