一、定義

• 絕對收斂：對于一個級數(shù)$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$，如果級數(shù)$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert u_{n}\vert$收斂，那么就稱級數(shù)$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$絕對收斂。例如，級數(shù)$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$，$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\vert=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$是收斂的（根據(jù)$p -$級數(shù)，當(dāng)$p = 2>1$時收斂），所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$絕對收斂。
• 條件收斂：如果級數(shù)$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收斂，但是$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert u_{n}\vert$發(fā)散，那么就稱級數(shù)$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$條件收斂。例如，級數(shù)$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$，根據(jù)萊布尼茨判別法可知該級數(shù)收斂，但是$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert\frac{(-1)^{n}}{n}\vert=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$是發(fā)散的（調(diào)和級數(shù)發(fā)散），所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$條件收斂。

二、判斷方法

1. 比較判別法
   • 絕對收斂判斷：如果能找到一個收斂的正項(xiàng)級數(shù)$\sum_{n = 1}^{\infty}v_{n}$，使得對于足夠大的$n$，有$\vert u_{n}\vert\leq v_{n}$，那么$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$絕對收斂。
   • 條件收斂判斷：當(dāng)原級數(shù)收斂，而通過比較判別法發(fā)現(xiàn)$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert u_{n}\vert$不滿足收斂條件時，可能是條件收斂。
2. 比值判別法
   • 對于級數(shù)$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$，計(jì)算$\lim_{n\rightarrow\infty}\vert\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}\vert = L$。
   • 絕對收斂判斷：如果$L<1$，那么$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$絕對收斂。
   • 條件收斂判斷：如果原級數(shù)收斂，但$L = 1$時，比值判別法失效，需要進(jìn)一步判斷是否為條件收斂。
3. 根值判別法
   • 計(jì)算$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\vert u_{n}\vert}=L$。
   • 絕對收斂判斷：如果$L<1$，則$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$絕對收斂。
   • 條件收斂判斷：若原級數(shù)收斂但$L = 1$時，根值判別法失效，要進(jìn)一步探討是否為條件收斂。